SYLLABUS

1. Objectifs du cours

Ce cours vise à doter les étudiants des outils mathématiques nécessaires à la compréhension - et non seulement à l'application - des méthodes économétriques abordées en L3 et en Master. Plus précisément :

-consolider les acquis d'algèbre linéaire, de calcul différentiel et de probabilités des deux premières années de licence, en les reformulant dans le langage matriciel et vectoriel qui sera celui de l'économétrie ;
maîtriser l'optimisation des fonctions de plusieurs variables, avec et sans contrainte, comme cadre général de résolution d'un problème d'estimation ;
construire la théorie de la projection orthogonale dans un espace euclidien et en faire le principe géométrique unificateur du cours ;
disposer des outils probabilistes indispensables à l'inférence : vecteurs aléatoires, lois usuelles, vecteurs gaussiens, modes de convergence et théorèmes limites ;
acquérir les rudiments de la théorie de l'estimation (biais, variance, convergence, estimation par moindres carrés et par maximum de vraisemblance) ;
développer la rigueur de raisonnement et de rédaction attendue dans un cursus quantitatif.

2. Description du cours

Il s'agit d'un cours de mathématiques au service de l'économétrie, et non d'un cours d'économétrie : les méthodes économétriques proprement dites, leur mise en ?uvre et leur interprétation relèvent du cours d'économétrie de la formation, dont ce cours constitue le socle méthodologique.

Le cours s'organise autour d'un fil directeur unique : le problème des moindres carrés, envisagé simultanément comme un problème d'optimisation et comme un problème de projection orthogonale. Cette double lecture - analytique et géométrique - permet de donner un sens à l'ensemble des outils mobilisés, et d'éviter que l'algèbre matricielle ne se réduise à une manipulation formelle.

Un polycopié de rappels, distribué en début de semestre, réactive les prérequis (matrices, espaces vectoriels, calcul différentiel, déterminants, probabilités discrètes). Il est travaillé en autonomie : le cours magistral s'appuie dessus sans le réexposer. Les sections signalées par une étoile y constituent des compléments, accessibles mais nouveaux pour la plupart des étudiants. Les séances de travaux dirigés, organisées en trois fascicules (algèbre, probabilités, statistiques), assurent l'appropriation technique des notions.

3. Plan du cours

• Partie I - Optimisation
• Extrema sans contrainte : conditions nécessaires du premier ordre
• Fonctions convexes et concaves ; caractérisations différentielles
• Conditions suffisantes du second ordre ; critère par les valeurs propres de la hessienne
• Optimisation sous contraintes d'égalité : multiplicateurs de Lagrange, conditions du premier et du second ordre
• Application : l'ajustement au sens des moindres carrés
• Partie II - Géométrie euclidienne et projection
• 6. Produit scalaire, norme, orthogonalité ; inégalité de Cauchy-Schwarz
• 7. Bases orthonormées, procédé de Gram-Schmidt
• 8. Projection orthogonale sur un sous-espace : existence, unicité, caractérisation variationnelle
• 9. Matrice de projection ; image et noyau d'une matrice, décomposition orthogonale de ??
• 10. Les moindres carrés comme projection : équations normales, théorème de Pythagore et décomposition de la variation
• Partie III - Probabilités
• 11. Variables aléatoires à densité ; fonction de répartition, lois usuelles
• 12. Couples et vecteurs aléatoires ; lois conditionnelles, espérance et variance conditionnelles
• 13. Espérance, variance, covariance ; matrice de variance-covariance
• 14. Vecteurs gaussiens : définition, stabilité par transformation affine, lois dérivées (?², Student, Fisher)
• 15. Modes de convergence ; loi des grands nombres, théorème central limite
• Partie IV - Éléments d'estimation
• 16. Échantillon, statistique, estimateur ; biais, risque quadratique, convergence
• 17. Estimation par moindres carrés et par maximum de vraisemblance
• 18. Lois d'échantillonnage en contexte gaussien ; intervalles de confiance

4. Compétences visées

• À l'issue du cours, l'étudiant est capable de :
• Calculer : conduire sans erreur les manipulations matricielles usuelles (produit, transposition, inversion, rang), calculer un gradient, une matrice hessienne, des valeurs propres.
• Optimiser : formuler un problème d'optimisation, en écrire les conditions du premier ordre, discuter la nature des points stationnaires par des arguments de convexité ou de spectre de la hessienne, traiter les contraintes d'égalité par le lagrangien.
• Raisonner géométriquement : reconnaître un problème de minimisation quadratique comme un problème de projection orthogonale, en donner la solution et l'interpréter en termes d'orthogonalité et de décomposition d'une norme.
• Modéliser l'aléa : manipuler des vecteurs aléatoires, calculer des lois marginales et conditionnelles, des espérances et des matrices de variance-covariance, exploiter les propriétés spécifiques des vecteurs gaussiens.
• Passer à la limite : distinguer les modes de convergence, appliquer à bon escient la loi des grands nombres et le théorème central limite.
• Évaluer une procédure d'estimation : construire un estimateur, en étudier le biais et la variance, en discuter la convergence.
• Rédiger : produire une démonstration rigoureuse et une argumentation mathématique correctement formulée ; identifier les hypothèses sous lesquelles un résultat est valide.
• Transférer : mobiliser ces outils de manière autonome dans les enseignements quantitatifs de la formation et en poursuite d'études.

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5. Modalités pédagogiques

Mode d'enseignement : Présentiel

Langue(s) utilisée(s) : Français

Méthodes pédagogiques : Cours magistral, Travaux Dirigés

6. Modalités d'évaluation

Examen écrit sur table